投稿

2020の投稿を表示しています

『高校生のための物理学』4.2.2.固有振動数と共鳴・共振

イメージ
ここでは発音体のみ扱いましたが,ばね振り子や単振り子の振動も固有振動です.ばね振り子の固有振動数はは$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$,単振り子の固有振動数は$f={2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$と表されます.このように考えると,物体ごとに固有振動数が決まっていることも理解しやすいと思います. ブランコに乗って周期的に振動を加えると,徐々に振幅が大きくなります.このように共振の例も身近なところに多くあります. 詳細は「『高校生のための物理学』4.2.2.固有振動数と共鳴・共振」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー②人口衛星の運動

イメージ
万有引力の位置エネルギーの演習として,人口衛星の運動を考えました.ケプラーの第2法則から力学的エネルギー保存則の流れをつかんでください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー②人口衛星の運動」を参照してください.*2020年9月13日に公開した動画に間違いがあったので訂正します.間違いを指摘してくれたMさん,ありがとう.

『高校生のための物理学』4.2.1.音波

イメージ
音は縦波です.音を波で表す場合は,通常は媒質の変位を縦軸にとった横波で表しますが,疎密の変化,つまり密度を縦軸にして表すこともあります.縦波の横波表示を復習して,媒質の変位を表すグラフから,どの点が密度が高いのか,低いのか読み取れるようにしましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』4.2.1.音波」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.14.屈折率の異なる媒質間の境界面での反射

イメージ
水の波が壁で反射するときは自由端反射をします.一方,音を伝える粒子の変位に注目すると,音は壁で反射するときは固定端反射をします. 光の場合は動画中で説明したように,$n_{12}<1$である境界面では自由端反射をして,$n_{12}>1$である境界面では固定端反射をします.自由端反射をするか,固定端反射をするかは,光の干渉の問題を考えるときは重要な要素の1つです. なお,$n_{12}=1$となるような媒質間では反射も屈折もしません. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.14.屈折率の異なる媒質間の境界面での反射」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.13.波の屈折率

イメージ
屈折は波が異なる媒質に侵入するとき,波の速さが変化することにより起こります.同じ媒質でも,状態が異なることで波の速さが変化すれば屈折は起こります.例えば,空気は気温により波の速さが変化するので,気温の異なる空気層の間で屈折が起こります.暑い日の日中に見られる陽炎は,地面で暖まった空気と,そのまわりの温度の低い部分との間で光が屈折することが原因です. 屈折により振動数は変化しないことに注意してください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.13.波の屈折率」を参照してください. 

『高校生のための物理学』4.1.12.ホイヘンスの原理

イメージ
ホイヘンスの原理は,波がどのように進んでいくかを作図する方法です.ホイヘンスの原理の基本は素元波です.素元波の半径は$vt$なので,作図をするときはどの部分,あるいはどの線とどの線の間隔が波の速さに相当するのか注目してください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.12.ホイヘンスの原理」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.11.波の式で表す定常波

イメージ
波長,周期,及び振幅が同じで,互いに進行方向が逆向きの2つの波を重ね合わせると定在波ができます.重ね合わせた波は位置による振幅と正負を表す項と,振動を表す項の積になっていることに注目してください. 加法定理は物理では度々登場します.数Ⅲでもよく利用されるので しっかり復習してください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.11.波の式で表す定常波」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.10.定在波

イメージ
弦楽器は弦に生じる定在波(定常波)が空気を振動させて音が鳴ります.同様に,管楽器では,管楽器内部にできる定在波が,管楽器外部の空気を振動させて音が鳴ります.このような私たちが感じることのできる波の現象に加えて,原子核の周りの電子の様子を表すときにも,定在波が登場します.先ずはここで説明したような簡単な例で,定在波への理解を深めてください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.10.定在波」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.9.波の干渉②平面上での波の干渉

イメージ
2つの波源からの距離の差が波長の整数倍のときは強めあう点です.一方,半整数倍のときは弱めあう点です.弱めあう点をつないだ線を節線といいます.雨の降る日に水溜まりに,節線が描く双曲線が見られることがあります.機会があれば観察してください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.9.波の干渉②平面上での波の干渉」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.9.波の干渉①波が強めあう条件

イメージ
波の干渉とは,波の重ね合わせにより波形の異なる波が生じる現象です.シャボン玉表面が色づいて見えるのも,岩壁に当たる波が突然大きくなるのも,波の干渉の例です.  波の干渉では,2つの波源から観測する点までの距離の差(経路差)が波長の整数倍であるかどうかが重要です.波の干渉の問題を解くときは,どの部分経路差か見極めて,距離の差を求めるようにしましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.9.波の干渉①波が強めあう条件」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.8.波の重ね合わせ(アニメーション)

イメージ
2つの正弦波と,それらの合成波の関係を観察してください.途中でノイズのような波を入れてみました.その波に対して,逆位相の波を加えるともとの合成波に戻ります. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.8.波の重ね合わせ(アニメーション)」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.8.波の重ね合わせ

イメージ
ある性質をもつ量の和が,同じ性質をもつとき重ね合わせの原理が成り立つといいます.重ね合わせの原理は,電磁気学や量子力学,工学など様々な分野で適用されます.波の重ね合わせは,重ね合わせの原理の代表的な例です.合成波を構成する波の変位の和が,合成波の変位になることを確認しましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.8.波の重ね合わせ」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.7.波の式と波の伝播方向

イメージ
ある時刻における位置による波の変位を表すy-xグラフと,ある点における波の時間変化を表すy-tグラフを用いて,波の式と伝播方向の関係について説明しました.$y=A\sin(\omega t-kx)$という式があったとすると,簡単でいいので$t=0$での波形$y=-A\sin kx$と,$x=0$での振動を表す$y=A\sin\omega t$の絵を描いて,進行方向について考えるようにしてください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.7.波の式と波の伝播方向」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.6.波の式と位相

イメージ
波は「いつ($t$),どこで($x$)」が分かれば状態が決まります. 位相とは「いつ($t$),どこで($x$)」という情報を含む,波の式$y=A\sin (\omega t -kx+\delta)$の$\omega t -kx+\delta$の部分です. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.6.波の式と位相」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.5.波の式

イメージ
空間を拡がる波の各点が,振動することを表現すると波の式が導出されます.波の式の理解にもつながるので,各点での初期位相を考えて波の式を導出してください. なお,ここでは波の式を$y=A\sin (\omega t -kx)$と表しましたが,初期位相$\delta $を加えて$y=A\sin (\omega t -kx+\delta)$とすると,高校の物理学においては様々な波に対応できて便利です. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.5.波の式」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.4.ある位置での媒質の振動を表す式

イメージ
波はエネルギーの輸送現象です.波の各点が$y=A\sin \omega t$で表される単振動をしていると考えると,次々と単振動のエネルギーが伝わっていきます.この考えは,物質内の原子や分子の熱振動などにも応用されます. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.4.ある位置での媒質の振動を表す式」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.3.空間を拡がる波の式

イメージ
波数とは,本来は単位長さ当たりに繰り返される波の数を表す量$\frac{1}{\lambda}$ですが,$2\pi$をかけた$k= \frac{2\pi}{\lambda} $が波数としてよく用いられます.どちらの場合も,単位は$\rm{/m}=\rm{m^{-1}}$です.($\rm {rad}$は無次元量であることに注意してください.) 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.3.空間を拡がる波の式」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.2.横波と縦波

イメージ
横波は進行方向に対して垂直に振動する波で,縦波は進行方向と同じ方向に振動する波です.縦波は粒子同士が衝突,あるいは静電気力などで反発することにより伝わる波なので,全ての媒質で伝わります.一方,横波は光(電磁波)を除いて固体中でしか伝わりません. 縦波を横波表示して考えることが多いので,慣れるためにもこちらの動画も参考にしてください. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.2.横波と縦波」を参照してください.

『高校生のための物理学』4.1.1.波とは

イメージ
$x=0$で起こった振動が$x$軸上を伝わっていく様子を見落とさないようにようにしてください.波が$x$軸上を進んでいくと同時に,すでに波が到達した各点では媒質が$y$軸方向に振動することを理解しましょう. 波の速さの公式は$v=f\lambda$と表すことが多いです.動画で説明したように視覚的に理解しておけば,容易に導出できます.理解できるまで,ある点の媒質が1回振動する間に波が1波長だけ進む様子を観察してください.なお,波の速さは媒質の種類や状態によって決まります.振動数が2倍になったから,波の速さも2倍になるというな勘違いをしないようにしましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』4.1.1.波とは」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.4.3.単原子分子理想気体の内部エネルギーと2乗平均速度

イメージ
以前,天下りのように導入した単原子分子理想気体の比熱は,単原子分子運動論により説明されます. 速度はベクトルであることを考えると容易に分かることですが,分子の速度の平均は0です.しかし,速度を2乗すると大きさになるので,平均をとることができます.2乗平均速度と平均速度,あるいは平均の速さは異なる量なので注意しましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』3.4.3.単原子分子理想気体の内部エネルギーと2乗平均速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.4.2.分子の平均運動エネルギー

イメージ
分子を構成する原子の数が多くなって自由度$n$が大きくなると,分子の平均運動エネルギー$K$が大きくなるので,単原子分子理想気体の$C_V$も大きくなります. $\gamma =\frac{C_P}{C_V}=\frac{C_V+R}{C_V}$とすると,自由度が大きくなるほど $\gamma =1$に近づくはずですが,実際にはそうはなりません.分子の平均運動エネルギーを厳密に求めるためには,高校までに学ぶ物理学(古典物理学)だけではなく,量子力学が必要です. 詳細は「『高校生のための物理学』3.4.2.分子の平均運動エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.4.1.気体の分子運動と圧力

イメージ
1つの物体の運動を考えるとき,外力がわかっていれば運動方程式を用いて解くことができます.2物体の場合は,片方を静止していると見なすと解くことができます.しかし,3つ以上の物体の運動は,一般には紙と鉛筆を用いて解くことができません. 分子運動論のように,非常に多くの物体の運動を考える場合は,再び解けるようになります.このように1つ1つの物体の個性(ここでは速度)を無視して,ミクロな力学的な運動からマクロな現象を解明する物理学を統計力学といいます.分子の運動から圧力を求める問題は,ほとんどの統計力学の教科書で最初に扱われます. 詳細は「『高校生のための物理学』3.4.1.気体の分子運動と圧力」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.3.2.熱力学第2法則②循環過程

イメージ
循環過程を考えるときは,必ず動画で説明したような表を書くようにしましょう. いかに状況や状態を整理するかが鍵です. 詳細は「『高校生のための物理学』3.3.2.熱力学第2法則②循環過程」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.3.2.熱力学第2法則①

イメージ
熱力学第2法則は,「熱は温度が高い物体から低い物体へ移動するだけである」という,非常にわかりやすい言葉で表現される法則です.しかし,1度分散した熱は回収できないことを意味しており,その概念はエントロピーにつながります. 詳細は「『高校生のための物理学』3.3.2.熱力学第2法則①」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.3.1.熱力学第1法則

イメージ
熱力学第1法則は内部エネルギーに注目した法則なので,$\Delta U=Q+W_{気体が外部からされた仕事}$と表されます.この式で熱機関のした仕事を考えるときは,$W$の符号が負のときが外部に仕事をしたときです.この場合に限らず,循環過程の問題などを考えるときは,文章をよく読んで要求される量は何かきちんと把握して,符号に気をつけて解答を書くようにしましょう. 第1種永久機関は,外部から熱を得ることなしに仕事をし続ける装置です.熱力学第1法則は,そのような装置は存在しないことを示しています. 詳細は「『高校生のための物理学』3.3.1.熱力学第1法則」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化②ポアソンの法則

イメージ
断熱変化をするとき,$\Delta U+W=0$であることに注目しましょう.ここで計算したように,断熱圧縮すると気体の温度は高くなります.ディーゼルエンジンは気体を圧縮することで温度を高くして,燃料(軽油)を燃焼させます. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化②ポアソンの法則」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化①断熱変化とは

イメージ
断熱変化は,断熱膨張や断熱圧縮という言葉で表現することがあります.断熱圧縮は気体の温度を高くすることを,反対に断熱膨張は気体の温度を下げることを目的に行われます.前者はエンジンで,後者は冷蔵庫などに利用されています.また,フェーン現象は断熱変化により説明されます.山に向かって湿った空気が吹く様子を,図に書いて考えてみてください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化①断熱変化とは」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.5.気体の比熱

イメージ
定圧モル比熱より定積モル比熱の方が小さいので,同じ熱量を与えたときは定圧変化より定積変化の方が温度が上昇します.やかんでお湯を沸かすとき,やかん上部の空気も同時に温めます.蓋をした方が早く沸騰する理由を考えてみてください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.5..気体の比熱」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.4.気体の状態変化と内部エネルギー

イメージ
気体の状態変化は.p-V図,及びV-T図においてどのような曲線(直線)として表されるかを理解しましょう.また,p-V図において曲線のある区間と横軸に囲まれた部分の面積は ,ある区間での気体がした(された)仕事を表しています.ピストンに封入された気体が,外部の気体を押しながら膨張する様子を想像してください.なお,ピストン外部が真空であるときは,封入された気体は膨張しても仕事はしません.注意してください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.4.気体の状態変化と内部エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.3.気体の状態方程式

イメージ
標準状態($273 \rm K$,$1.01 \times 10^5 \rm {N/m^2}$ )における$1 \rm {mol}$の気体の体積は$2.24 \times 10^{-2}\rm m^3$です.これらの値から気体定数$R=8.31 \rm {J/mol\cdot K}$が求まります.気体定数の単位は,気体$ 1\rm {mol}$の温度を$1 \rm K$上昇させるのに必要な熱量である,モル比熱と同じあることに注目してください.なお,化学では熱量の単位$\rm J$を用いず,また体積の単位として$\rm L$を用いるので,気体定数は$R=8.31\times 10^3 \rm {Pa \cdot L /mol\cdot K}$と表されるので注意してください.  詳細は「『高校生のための物理学』3.2.3.気体の状態方程式」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.2.ボイル・シャルルの法則

イメージ
シャルルの法則を定式化して発表したのはゲー・リュサックです.ゲー・リュサックの第1法則とよばれることもあります.キャベンディッシュは,シャルルより先に気体の温度と体積の関係を明らかにしていましたが,発表していませんでした. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.2.ボイル・シャルルの法則」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.1.気体の圧力

イメージ
日本では,天気予報などに用いられる気圧の単位は,トリチェリの実験に因むmmHgからmbar(ミリバール)を経て,hPaへ変更されています.1mbar=1hPaなので大きな混乱はなかったようですが,アメリカでは現在もmbarが使用されています.アメリカで天気予報を見るときは,気圧,温度に注意してください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.1.気体の圧力」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.5.温度と内部エネルギー

イメージ
アメリカではファーレンハイト温度(華氏温度)という温度を用います.ファーレンハイト温度は体温を基準とした温度で,セルシウス温度を$C$[℃]とすると,ファーレンハイト温度$F$[°F] は$F=\frac{9}{5}C+32$と表されます.夏の暑い日,アメリカで温度計を見ると数字の大きさ(35℃で95°F)に驚きます.気をつけてください. 気体の内部エネルギーでも触れますが,内部エネルギーは温度に比例することは非常に重要な性質です.原子や分子がぷるぷると熱振動する様子を想像して,感覚的にも理解してください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.5.温度と内部エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.4.熱振動と状態変化

イメージ
融点は氷(固体)と水(液体)が混在した状態です.したがって,0℃は氷の温度ではないので注意しましょう.3重点とよばれる温度,圧力では固体と液体,気体が混在した状態が生じます.水の三重点は温度0.01℃,圧力610.6Pa(出典:岩波理化学辞典第5版)です. 水の比熱は$4.2 \rm{J/{g \cdot K}}$ですが,氷と水蒸気の比熱は$2.1 \rm{J/{g \cdot K}}$です.氷と水蒸気の比熱は,水の比熱の半分と覚えておくと便利です.また,与えた熱量から温度変化を求めるとき,融点や沸点を超えるときは注意してください.質量$m$の氷に熱量$Q$の熱を加えて温度変化を考えるときは,$Q=mc_{ice}\Delta t_1 +mc_{water}\Delta t_2$ではなく,融解熱を$q_{melting}$として,$Q=mc_{ice}\Delta t_1 +mc_{water}\Delta t_2+mq_{melting}$として温度変化を求めます.  ドライアイス($\rm {CO_2}$)も圧力を加えると液体になります.ドライアイスを注射器のような密閉できる容器に入れて,圧力を加えるだけなので,機会があれば試してみてください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.4.熱振動と状態変化」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.3.比熱と熱容量

イメージ
熱力学創生期における基本原理は熱量保存則でした.底面積の異なるモデルで考えたように,熱量は液体のようなものと考えられていたので,動画中の図における面積,つまり底面積(比熱)と水位(温度)の積が熱量です.熱量保存則により,物体間の熱の移動に注目した研究が行われました. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.3.比熱と熱容量」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.2.熱の仕事当量

イメージ
カロリック説は否定されましたが,熱量保存則は流体の移動を想像しながら考えると理解しやすいです. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.2.熱の仕事当量」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.1.熱とは

イメージ
水1gを1℃上昇させるのに必要な熱量が1calです.成人男性の1日に必要なエネルギー量は2200kcal程度といわれています.2200kcalは20℃の水27.5Lを沸騰させるくらいの熱量です.MKSで表せないので,科学的には利用を推奨されない単位ですが,栄養学などで使用されることも多いので,この機会に定義について理解を深めてください.  詳細は「『高校生のための物理学』3.1.1.熱とは」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度②第2宇宙速度

イメージ
ラプラスは.コンパクトで十分に質量の大きい天体であれば,光さえも抜け出せなくなると考えました.光速を$c$とすると$\frac{1}{2}mc^2-G\frac{Mm}{r}<0$より,天体の半径$r$が$r<\frac{2GM}{c^2}$の条件を満たすとき,光は天体から外に出ることはできません.この半径は,一般相対性理論から導かれるシュワルツシルト半径と一致しており,この半径を満たすような天体をブラックホールといいます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度②第2宇宙速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度①第1宇宙速度

イメージ
第1宇宙速度は,完全な球体と考えた地球の表面すれすれを,地球の中心と軌道の中心が一致するように等速円運動するために必要な速度です.第1宇宙速度$v=\sqrt {\frac{GM}{R}}$を利用して,$T=\frac{2\pi R}{v}$より周期を求めると,$T=2\pi \sqrt {\frac{R^3}{GM}}$が得られます.この式は地球を中心に半径$R$の円軌道を描く人工衛星に適用できるので,国際宇宙ステーションの高度(ISS)を地上$400 \rm {km}$($6750 \rm {km}$)とすると,ISSの周期を求めることができます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度①第1宇宙速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー②人口衛星の運動

イメージ
万有引力の位置エネルギーの演習として,人口衛星の運動を考えました.ケプラーの第2法則から力学的エネルギー保存則の流れをつかんでください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー②人口衛星の運動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー①

イメージ
分数の積分を理解していれば,万有引力の位置エネルギーを導出することができます.質量$M$の物体Aからの距離$r$の点まで,質量$m$の物体Bを無限遠方から移動させます.万有引力は保存力なので,保存力に逆らってした仕事を計算することで,万有引力の位置エネルギーを求めることができます. 外力のする仕事$W$は$W=-\int^r_\infty (-f) dx=\int^r_\infty G \frac {Mm}{r^2}dx=GMm \left[ -\frac{1}{r} \right]_\infty ^r=-G\frac{Mm}{r}$と表されます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー①」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力②重力加速度

イメージ
$GM=gR^2$を用いると,地表からの高度$h$での重力加速度は$g'=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2g$と表されます.地球の半径を$6.4\times 10^6 \rm m$,地球の中心から月までの距離を$3.8\times 10^8\rm m$として,月の位置での重力加速度を求めて見てください. また,国際宇宙ステーション(ISS)の内部で重力がはたらいていないように見えるのは,ISSとともに運動する座標系から見ると,物体にはたらく重力と慣性力である遠心力がつりあっているからです.  詳細は「『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力②重力加速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力①

イメージ
コロナ禍で話題になることが多いのですが,万有引力の法則はロンドンでのペスト流行の最中で発見されました.大学が閉鎖されたため故郷に帰り,田舎で過ごすことでじっくりと考える時間ができたためと考えられています.
 ニュートンによる万有引力の導出はややこしいので,地球は太陽のまわりを等速円運動していると見なして,等速円運動の運動方程式$mr\omega^2=F$にケプラーの第3法則$T^2\propto r^3$を適用し,同様に太陽は地球のまわりを等速円運動するとして計算すると,万有引力の法則は導出できます.  詳細は「『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力①」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.9.惑星の運動(ケプラーの3法則)

イメージ
ケプラーの法則が発表された頃は,天体の運動や形状は完全な球(円)であると考えられていました.ガリレオは終生ケプラーの第1法則を信用しなかったようです. ケプラーの第2法則は角運動量保存則を表しています.物体にはたらく力が中心からの力のみである場合に成り立ちます.角運動量については『高校生のための物理学』2.7.14.角運動量を参照してください. ネイピアにより対数が発表されたのは1614年のことで,ケプラーの第3法則の発表前ですが,まだ対数がどのように利用されるかも分かっていなかった頃なので,ケプラーは対数を利用することなく第3法則を発見しています. 詳細は『高校生のための物理学』2.7.9.惑星の運動(ケプラーの3法則)を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期③鉛直方向の単振動

イメージ
この動画で扱っているように,物体に弾性力のような$-kx$で表される力に加えて一定の力$f$がはたらいているとき,単振動の運動方程式は$ma=-kx+f$より$ma=-k\left(x-\frac{f}{k}\right)$と表されます.最後の式より,復元力が0になる点,すなわち$x=\frac{f}{k}$を中心に物体は単振動することがわかります.  詳細は「『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期③鉛直方向の単振動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期②単振り子

イメージ
弧度法に慣れていないと難しいところがあります.この機会に弧度法について復習してください.また,$\theta$が小さいときの近似式,$\sin \theta \approx \theta$を用います.近似式の扱いにも慣れましょう. 振り子の運動を水平面に投射して導出する方法もあります.その場合は,張力$T\cos \theta \approx T =m\textit g$とします.$\theta$が小さいときの近似式$\cos \theta \approx 1$を用いました.復元力は$T\sin \theta =T\frac{x}{l}=\frac{mg}{l}x$と表されるので,動画と同じ結論が得られます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期①ばね振り子

イメージ
単振動の基本的な例です.周期$T=2\pi \sqrt \frac{m}{k}$を公式として覚えるのではなく,運動方程式$-m\omega ^2 x=-kx$から導けるようになりましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期①ばね振り子」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.7.単振動に必要な力と力学的エネルギー

イメージ
円運動と同じで,復元力という力があるわけではありません.どの力,あるいは合力が復元力になっているか注目して演習してください.また,式の形が同じであれば,結果はいつも同じです.復元力は定数を$K$として$-Kx$と表されますが, 弾性力$F=-kx$に対する弾性エネルギーが$U_E=\frac{1}{2}kx^2$となるように,復元力の位置エネルギーも$U_R=\frac{1}{2}Kx^2$,$K=m \omega ^2$とすると$U_R=\frac{1}{2}m \omega ^2 x^2$と表されます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.7.単振動に必要な力と力学的エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.6.単振動の速度と加速度

イメージ
等速円運動の速度と加速度をベクトルで表示し,それぞれの正射影を考えると,簡単に単振動の速度と加速度が導出できます.ぜひ絵を描いて考えてください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.6.単振動の速度と加速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.5.単振動

イメージ
単振動を表現する数式は,波や交流などの振動する現象を表すためにも用いられます.等速円運動の正射影であることを理解して,理解に努めてください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.5.単振動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式3鉛直面内の円運動

イメージ
鉛直面内の円運動を考えるとき, 遠心力と垂直抗力,重力などがつりあっているとして解く方法もありますが,基本的には運動方程式を立てて考えるようにしましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式3鉛直面内の円運動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式2円錐振り子

イメージ
円錐振り子の場合,糸の張力の水平成分が向心力です.糸の張力の鉛直成分は重力とつりあっているので,おもりは水平面内で回転運動をします.$T=2\pi \sqrt \frac{l\cos \theta}{\text g}$より,角度が小さくなるほど$\cos \theta$の値が大きくなるので,周期は大きくなります. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式2円錐振り子」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式1

イメージ
遠心力は慣性力の1つです.等速円運動する物体には中心向きの加速度が加わります.この中心向きの加速度に対する慣性力が遠心力です. 国際宇宙ステーション(ISS)とともに運動する観測者からは,ISS内部の物体には遠心力と重力がつりあっているように見えるので,無重力に見えます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.3.等速円運動の加速度

イメージ
等速円運動の加速度の導出をはじめて学習すると,極限をとったり,近似をしたりするので感覚的に難しい部分があります. 極限については,動画で視覚的に理解してください.また,近似については,数Ⅲを学んでいれば「『高校生のための物理学』7.9.9.近似式」を参照してください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.3.等速円運動の加速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.2.等速円運動

イメージ
ここでは等速円運動の表し方と,表すために必要な量を理解しましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.2.等速円運動」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.4.5.水素の線スペクトルの説明

イメージ
ボーアの原子模型は,水素原子の線スペクトルを説明するために考えられたものです.仮説の立て方の1つとして,アブダクションというものがあります.アブダクションはある仮定が正しいとすると上手く事実を説明できるので,仮定は正しいものであるとする仮説の立て方です.この場合は,ボーアの仮定が正しいとすると,水素の線スペクトルは上手く説明できるので,原子はボーアの原子模型にしたがうはずであるというのが,ボーアの仮説です. 詳細は「『高校生のための物理学』6.4.5.水素の線スペクトルの説明」を参照してください. 太陽スペクトルの美しい画像を紹介します.(https://apod.nasa.gov/apod/ap170907.htmlより)

『高校生のための物理学』6.4.4.水素原子のエネルギー準位

イメージ
エネルギー準位は負であることに注意してください.電子の軌道が小さくなるほど,エネルギー準位は低くなります.イオン化エネルギーの意味や,最外殻の電子がなぜ反応しやすいかなど,化学を考えるときに役立つのでしっかり理解してください. 詳細は「『高校生のための物理学』6.4.4.水素原子のエネルギー準位」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.4.3.水素原子の半径

イメージ
ボーア半径とは,電子や原子などのミクロな世界を記述する長さの単位です.ボーア半径を用いることで,余計な定数を記述してなくてもよいという利点があります. 詳細は「『高校生のための物理学』6.4.3.水素原子の半径」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.4.2.ボーアの原子模型

イメージ
ボーアはラザフォードの原子模型の問題点を解決するために,いくつかの仮定をして原子模型をつくりました.しかし,ボーアの原子模型も後に修正されます. 詳細は「『高校生のための物理学』6.4.2.ボーアの原子模型」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.3.4.電子(粒子)の波動性

イメージ
光量子仮説に基づくと,波動性が強く表れた状態は$E=h\nu=\frac{ch}{\lambda}$よりエネルギーが低い状態です.反対に粒子性が強く表れた状態はエネルギーが高い状態といえます.金属内部の電子は,まるで寝そべるように波長の長い状態で存在することで,エネルギーを低くして安定しています. 詳細は「『高校生のための物理学』6.3.4.電子(粒子)の波動性」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.3.3.光量子仮説②コンプトン効果

イメージ
本来は特殊相対論の効果を考えなければならないのですが,結論は同じです.ぜひ楽しみながら計算してください. 詳細は「『高校生のための物理学』6.3.3.光量子仮説②コンプトン効果」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.3.3.光量子仮説

イメージ
1905年は,アイシュタインは3つの論文を提出し,その3つの論文がそれぞれ新しい物理学の扉を開いたことから,奇跡の年と呼ばれています.光量子仮説は量子力学につながっていきます.アインシュタインは光は波の性質をもった粒子であると表現していますが,ファインマンは,「光は粒子と波の両方の性質をもち,そのどちらでもない」と表現しています. 詳細は「『高校生のための物理学』6.3.3.光量子仮説」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.3.2.X線

イメージ
X線が発見された頃は,まだ電子の存在が完全には明らかになっていませんでした.しかし,X線が発見されて,研究に利用されるようになったことで,電気素量や元素の周期表などが実験により求められるようになりました.科学が本当に難しいものになったのは,様々な現象が肉眼で確かめられるものではなくなった,X線の発見以降かもしれません. 詳細は「『高校生のための物理学』6.3.2.X線」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.3.1.光電効果

イメージ
光電効果の仕組みを理解して,IVグラフの読み方を理解しましょう.井戸の底にある(束縛された)電子が光にたたき出され,負極に向かってジャンプするイメージができるといいと思います.  詳細は「『高校生のための物理学』6.3.1.光電効果」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.2.7.結合エネルギー

イメージ
結合エネルギーは,バラバラの核子を結合させるために必要なエネルギーではありません.注意してください.また,結合エネルギーを表すときは,1核子当たりのエネルギーとして表すことが多いので,質量数Aの原子核の結合エネルギーを求めるときは,1核子当たりの結合エネルギーをA倍します.  $^{56}\rm Fe$は1核子当たりの結合エネルギーが最も大きい原子核の1つです.$^{56}\rm Fe$より軽い原子核は核融合してより質量数の大きい原子核となり,重い原子核は核分裂により軽い原子核になり,$^{56}\rm Fe$に近づいていきます.  詳細は「『高校生のための物理学』6.2.7.結合エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.2.2.半減期

イメージ
ヨウ素の放射性同位体の1つ$^{131}\rm I$の半減期は8日です.福島の原発で事故が起こったとき,はじめの1週間は$^{131}\rm I$が特に問題になりました.  詳細は「『高校生のための物理学』6.2.2.半減期」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.2.1.放射性崩壊と放射線

イメージ
放射性物質が発見されたころ,勝手に物質が発光することから,エネルギー保存則が破れているのではないかと話題になりました.また,放射線の人体への影響が明らかではなかったので,ずさんな取り扱いによる事故が起こっています. β崩壊には,陽子が陽電子と中性子になる逆β崩壊などいくつかの種類があります. 詳細は「『高校生のための物理学』6.2.1.放射性崩壊と放射線」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.7.陽子と中性子の発見

イメージ
これで化学の教科書に登場する陽子,中性子,電子がそろいました.それにしても,運動量保存則で学んだ速度交換が,こんなところで登場するとは驚きですね. 詳細は「『高校生のための物理学』6.1.7.陽子と中性子の発見」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.6.原子番号と同位体

イメージ
原子番号の正確な定義のないまま,周期律に基づいて周期表を作り上げたメンデレーエフには驚嘆します. 詳細は「『高校生のための物理学』6.1.6.原子番号と同位体」は参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.5.原子の構造

イメージ
ラザフォードはα線がはね返ってくるのを観測して,大きな衝撃を受けたそうです.薄い紙に撃ち込んだ砲弾がはね返ってきたと例えています. 詳細は「『高校生のための物理学』6.1.5.原子の構造」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.3.電気素量の測定

イメージ
この実験において,ミリカンは正しいと思われるデータのみを抽出したのではないかと疑われました.実際に,明らかな測定誤差だと思われるデータは削除したそうです.これが研究不正に当たるかは難しいところですが,電気素量の真の値の見当がつくほど多くの実験を繰り返したものと思われます. 詳細は「『高校生のための物理学』6.1.3.電気素量の測定」は参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷③磁場による偏向

イメージ
磁場による偏向を考えるときは,水平投射のように扱うことできないので注意してください.また,三角形の相似や近似を用います.三角形の相似に気付いたり,近似を使うときのテクニックも身につけたりしましょう.  詳細は「『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷③磁場による偏向」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷②電場による偏向

イメージ
電場による偏向は,水平投射を思い出しながら考えてください.  詳細は「『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷②電場による偏向」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷①J.J.トムソンの実験

イメージ
J.J.トムソンは,この実験で陰極線が質量と電気量をもつ粒子(電子)であることを示しました.実験結果が発表されたのは1897年です.また,電子は原子から飛び出したものとして,ブドウパンモデルとよばれる原子模型を考えました. 電場や磁場による座標のずれ$y_E$,$x_B$については,『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷②電場による偏向『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷③磁場による偏向にて説明します. 詳細は「『高校生のための物理学』6.1.2.電子の比電荷」を参照してください.

『高校生のための物理学』6.1.1.電子の発見

イメージ
陰極線の性質は,陰極線の正体が電子であることを考えると当たり前のことです.しかし,回路中を流れる流体のもつ電気が正か,負かというような時代においては,驚くべき発見だったと思われます.なお,陰極線の正体が電子であることは,J.J.トムソンが比電荷の実験を行い明らかにしました.  詳細は「『高校生のための物理学』6.1.1.電子の発見」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.8.電磁波

イメージ
電磁波の発見者ヘルツは, 電磁波は何の役に立つのかと聞かれ,「単にマクスウェルの理論が正しいことを証明しただけだ」と答えたといいます.新たな発見は将来何になるのか分からないという点で,よく生まれたての赤ん坊に例えられますが,電磁波がどのように利用されているかを考えると,随分大きな巨人に成長したことが分かります.  詳細は「『高校生のための物理学』5.8.電磁波」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.9.変圧器

イメージ
発電所から送電される電流を変圧器で電圧を変換して,家庭用の電源として利用しています.電柱についているので,興味があれば電柱を見上げてみてください.  また,家庭用の電源電圧は各国で異なるので,海外旅行するときに変圧器(トランス)が必要な場合があります.コンセントの形状も異なるので,調べてみるとおもしろいですよ.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.9.変圧器」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.8.振動回路

イメージ
コンデンサーとコイルの間で移動するエネルギーに注目すると,振動回路は理解しやすいと思います.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.8.振動回路」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.7.インピーダンス②RLC並列回路

イメージ
コイルの端子電圧は電流の位相より$\frac{\pi}{2}$進んでいるので,コイルを流れる電流は交流電圧の位相より$\frac{\pi}{2}$遅れます.反対に,コンデンサーの端子電圧は電流の位相より$\frac{\pi}{2}$遅れるので,コンデンサーを流れる電流は交流電圧の位相より$\frac{\pi}{2}$進みます.また,$I=\frac{V}{R}$に気をつけて,リアクタンスを逆数にするのを忘れないようにしてください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.7.インピーダンス②RLC並列回路」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.7.インピーダンス①RLC直流回路

イメージ
インピーダンスが大きいアンプに,インピーダンスが小さいスピーカーを接続すると故障の原因になることがあります.オーディオ機器のカタログなどを見るとインピーダンスの値(数Ω)が書かれているので,興味があれば調べてみてください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.7.インピーダンス①RLC直流回路」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.6.共振回路

イメージ
共振回路の応用例としてラジオがあります.コイルの自己インダクタンスやコンデンサーの電気容量を変化させることにより,アンテナで受信した電磁波のわずかな変化を大きな電流として取り出し,スピーカーで出力します.わずかな電圧の変化があればいいので,原理的にラジオは電池が不要です.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.6.共振回路」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.5.コンデンサーのリアクタンス

イメージ
コイルのリアクタンスは$R_L=\omega L$,コンデンサーのリアクタンスは$R_C=\frac{1}{\omega C}$です.$\omega =2 \pi f$より,それぞれ$R_L=2\pi f L$,$R_C=\frac{1}{2 \pi f C}$となります.この結論から,周波数が大きいほどコイルのリアクタンスは大きくなり,反対に周波数が小さくなるほどコンデンサーのリアクタンスは大きくなります.この特性はスピーカーなどにも利用されています.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.5.コンデンサーのリアクタンス」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.4.コイルのリアクタンス

イメージ
コイルに交流を加えると,自己誘導により電流が流れにくくなります.このときコイルは抵抗の役割をします.これをコイルのリアクタンスといいます,  自己インダクタンス$L$のコイルに交流$I=I_0 \sin \omega t$を加えると,消費電力$P$は$P=IV$より,$P=\omega L I_0 \sin \omega t \cos \omega t=\frac{1}{2} \omega L I_0 \sin 2\omega t $となります.グラフに書くと分かりやすいのですが,コイルの消費電力の時間平均は0です.理想的なコイルの電気抵抗は0なので,当たり前のことですが,この点に注意してください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.4.コイルのリアクタンス」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.3.交流における抵抗での消費電力

イメージ
三角関数の公式について確認してください.この機会にグラフの書き方にも慣れましょう.  実効値を用いると,交流における電圧や電流の時間的な変動を無視して,オームの法則を用いた計算などをすることができます.理解して,便利に使いこなしてください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.3.交流における抵抗での消費電力」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.2 交流電圧の式②磁場を横切る導体棒

イメージ
磁場を横切る導体棒に発生する誘導起電力は,下の動画を参照してください.ここで導出した$V=vBl$を用いています.

 詳細は「『高校生のための物理学』5.7.2 交流電圧の式②磁場を横切る導体棒」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.2.交流電圧の式

イメージ
交流電圧を表す式は,磁束を表す式を時間$t$で微分すると求めることができます.ファラデーの電磁誘導の法則$V=-N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$は,$V=-N\frac{d\Phi}{d t}$というように書き換えられます.この式から,$\Phi =Bl^2\cos \omega t$を$t$で微分すると,$V=N\omega Bl^2 \sin \omega t$が得られます.数Ⅲで三角関数の微分を学んでいれば,ぜひ計算してみてください.なお,動画で説明した方法は,$\sin$関数の導関数を求めるときの方法そのものです.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.2.交流電圧の式」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.7.1.交流

イメージ
磁場中でコイルを回転させると,電磁誘導により周期的な電流が発生します.この周期的な電流を交流といいます.レンツの法則により,十分に演習してください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.7.1.交流」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.6.ベータトロン

イメージ
ベータトロンは加速器の1つです.電磁誘導により生じた軌道上の電場によって電子は加速します.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.6.ベータトロン」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.5.相互誘導

イメージ
相互誘導もまた,自己誘導と同様に交流で本領を発揮します.直流で仕組みについて十分に理解するようにしてください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.5.相互誘導」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.4.コイルに蓄えられるエネルギー

イメージ
自己インダクタンス$L$の単位$\rm H$は$\rm{V \cdot s/A}$です.電位の定義「$1 \rm C$の電荷に外力を加えて移動させたとき,$1 \rm J$の仕事をする電位差を$1 \rm V$とする」より,$LI$の単位は$\rm{J/C \cdot s}$となります.さらに電流の定義「$1 \rm s$間に断面を通過する電気量が$1 \rm C$のときの電流を$1 \rm A$とする」より,$LI$の単位は,$\rm{J/A }$と表されます.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.4.コイルに蓄えられるエネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.3.自己誘導

イメージ
自己誘導に関する問題を解くとき,「電流を流した直後」や「電流を流して十分に時間が経ったとき」というような表現に気をつけるようにしてください.また,レールの上をすべる導体棒のような問題を考えるときは,回路に発生した電流による自己誘導は考えません.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.3.自己誘導」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.2.磁場中で導体棒を動かすときの仕事③斜面を運動する導体棒

イメージ
導体棒の運動のうち,磁場を垂直に横切る成分のみが電磁誘導に寄与します.また,ここでは導体棒が磁場から受ける力のうち,斜面に平行な成分のみを考えましたが,導体棒とレールの間に摩擦がある場合は,斜面に垂直な成分も考えなくてはなりません.向きと成分に注意して演習を行ってください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.2.磁場中で導体棒を動かすときの仕事③斜面を運動する導体棒」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.2.磁場中で導体棒を動かすときの仕事②ローレンツ力による起電力の導出

イメージ
ローレンツ力による自由電子の運動は,導体棒とともに運動する観測者から見ると,電場からの力による運動のように見えます.まずは.この考え方を理解しましょう.  また,十分に時間が経つと動画の導体の左側に自由電子が集まります.そのために導体棒の左側が,右側に比べて電位が低くなります.導体内に生じていると考える電場の向きと反対に,電位の高い点が生じるので注意してください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.2.磁場中で導体棒を動かすときの仕事」を参照してください.

『高校生のための物理学』5.6.1.電磁誘導の法則

イメージ
ファラデーの電磁誘導の法則は,電磁気学の基本方程式の1つとして重要です.ファラデーの電磁誘導の法則から,自己誘導や交流の式を導出することができます.また,レンツの法則も慣れるまで練習してください.  詳細は「『高校生のための物理学』5.6.1.電磁誘導の法則」を参照してください.5.6.1
#「『高校生のための物理学』5.6.1.電磁誘導の法則」の,レンツの法則の演習問題の図(2)は,動画と同様にN極をコイルから遠ざける場合です.訂正します.

『高校生のための物理学』2.5.8.重心速度

イメージ
運動量保存則が成り立つとき,系の重心速度は一定です.例えば,なめらかな水平面に置かれた板上で,人が静止していたときの重心速度は0です.この状態から,人がどんなに歩き回っても,重心速度は0なので重心の位置は変化しません.  詳細は「『高校生のための物理学』2.5.8.重心速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.5.6.はね返り係数②速度交換

イメージ
速度交換はビリヤードやカーリングでよく見られる現象です.速度交換が起こるのは,同質量の物体が,弾性衝突をするときです.  問題を解くときも,速度交換に気付くと簡単に解けることも多いので,気をつけるようにしてください.  詳細は「『高校生のための物理学』2.5.6.はね返り係数」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.5.6.はね返り係数

イメージ
2物体のはね返り係数を考えるとき,2つの物体の速度の向きに気をつけてください.また,マイナスを忘れないように注意しましょう.  詳細は「『高校生のための物理学』2.5.6.はね返り係数」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.5.5.平面上での衝突

イメージ
向きと三角比に気をつけて,成分ごとの運動量保存則の式を立てましょう.また,三角関数の公式を使いこなせるように練習をしてください.  詳細は「『高校生のための物理学』2.5.5.平面上での衝突」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.5.4.運動量保存則