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『高校生のための物理学』3.3.2.熱力学第2法則①

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熱力学第2法則は,「熱は温度が高い物体から低い物体へ移動するだけである」という,非常にわかりやすい言葉で表現される法則です.しかし,1度分散した熱は回収できないことを意味しており,その概念はエントロピーにつながります. 詳細は「『高校生のための物理学』3.3.2.熱力学第2法則①」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.3.1.熱力学第1法則

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熱力学第1法則は内部エネルギーに注目した法則なので,$\Delta U=Q+W_{気体が外部からされた仕事}$と表されます.この式で熱機関のした仕事を考えるときは,$W$の符号が負のときが外部に仕事をしたときです.この場合に限らず,循環過程の問題などを考えるときは,文章をよく読んで要求される量は何かきちんと把握して,符号に気をつけて解答を書くようにしましょう. 第1種永久機関は,外部から熱を得ることなしに仕事をし続ける装置です.熱力学第1法則は,そのような装置は存在しないことを示しています. 詳細は「『高校生のための物理学』3.3.1.熱力学第1法則」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化②ポアソンの法則

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断熱変化をするとき,$\Delta U+W=0$であることに注目しましょう.ここで計算したように,断熱圧縮すると気体の温度は高くなります.ディーゼルエンジンは気体を圧縮することで温度を高くして,燃料(軽油)を燃焼させます. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化②ポアソンの法則」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化①断熱変化とは

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断熱変化は,断熱膨張や断熱圧縮という言葉で表現することがあります.断熱圧縮は気体の温度を高くすることを,反対に断熱膨張は気体の温度を下げることを目的に行われます.前者はエンジンで,後者は冷蔵庫などに利用されています.また,フェーン現象は断熱変化により説明されます.山に向かって湿った空気が吹く様子を,図に書いて考えてみてください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.6.断熱変化①断熱変化とは」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.5.気体の比熱

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定圧モル比熱より定積モル比熱の方が小さいので,同じ熱量を与えたときは定圧変化より定積変化の方が温度が上昇します.やかんでお湯を沸かすとき,やかん上部の空気も同時に温めます.蓋をした方が早く沸騰する理由を考えてみてください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.5..気体の比熱」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.4.気体の状態変化と内部エネルギー

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気体の状態変化は.p-V図,及びV-T図においてどのような曲線(直線)として表されるかを理解しましょう.また,p-V図において曲線のある区間と横軸に囲まれた部分の面積は ,ある区間での気体がした(された)仕事を表しています.ピストンに封入された気体が,外部の気体を押しながら膨張する様子を想像してください.なお,ピストン外部が真空であるときは,封入された気体は膨張しても仕事はしません.注意してください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.4.気体の状態変化と内部エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.3.気体の状態方程式

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標準状態($273 \rm K$,$1.01 \times 10^5 \rm {N/m^2}$ )における$1 \rm {mol}$の気体の体積は$2.24 \times 10^{-2}\rm m^3$です.これらの値から気体定数$R=8.31 \rm {J/mol\cdot K}$が求まります.気体定数の単位は,気体$ 1\rm {mol}$の温度を$1 \rm K$上昇させるのに必要な熱量である,モル比熱と同じあることに注目してください.なお,化学では熱量の単位$\rm J$を用いず,また体積の単位として$\rm L$を用いるので,気体定数は$R=8.31\times 10^3 \rm {Pa \cdot L /mol\cdot K}$と表されるので注意してください.  詳細は「『高校生のための物理学』3.2.3.気体の状態方程式」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.2.ボイル・シャルルの法則

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シャルルの法則を定式化して発表したのはゲー・リュサックです.ゲー・リュサックの第1法則とよばれることもあります.キャベンディッシュは,シャルルより先に気体の温度と体積の関係を明らかにしていましたが,発表していませんでした. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.2.ボイル・シャルルの法則」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.2.1.気体の圧力

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日本では,天気予報などに用いられる気圧の単位は,トリチェリの実験に因むmmHgからmbar(ミリバール)を経て,hPaへ変更されています.1mbar=1hPaなので大きな混乱はなかったようですが,アメリカでは現在もmbarが使用されています.アメリカで天気予報を見るときは,気圧,温度に注意してください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.2.1.気体の圧力」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.5.温度と内部エネルギー

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アメリカではファーレンハイト温度(華氏温度)という温度を用います.ファーレンハイト温度は体温を基準とした温度で,セルシウス温度を$C$[℃]とすると,ファーレンハイト温度$F$[°F] は$F=\frac{9}{5}C+32$と表されます.夏の暑い日,アメリカで温度計を見ると数字の大きさ(35℃で95°F)に驚きます.気をつけてください. 気体の内部エネルギーでも触れますが,内部エネルギーは温度に比例することは非常に重要な性質です.原子や分子がぷるぷると熱振動する様子を想像して,感覚的にも理解してください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.5.温度と内部エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.4.熱振動と状態変化

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融点は氷(固体)と水(液体)が混在した状態です.したがって,0℃は氷の温度ではないので注意しましょう.3重点とよばれる温度,圧力では固体と液体,気体が混在した状態が生じます.水の三重点は温度0.01℃,圧力610.6Pa(出典:岩波理化学辞典第5版)です. 水の比熱は$4.2 \rm{J/{g \cdot K}}$ですが,氷と水蒸気の比熱は$2.1 \rm{J/{g \cdot K}}$です.氷と水蒸気の比熱は,水の比熱の半分と覚えておくと便利です.また,与えた熱量から温度変化を求めるとき,融点や沸点を超えるときは注意してください.質量$m$の氷に熱量$Q$の熱を加えて温度変化を考えるときは,$Q=mc_{ice}\Delta t_1 +mc_{water}\Delta t_2$ではなく,融解熱を$q_{melting}$として,$Q=mc_{ice}\Delta t_1 +mc_{water}\Delta t_2+mq_{melting}$として温度変化を求めます.  ドライアイス($\rm {CO_2}$)も圧力を加えると液体になります.ドライアイスを注射器のような密閉できる容器に入れて,圧力を加えるだけなので,機会があれば試してみてください. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.4.熱振動と状態変化」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.3.比熱と熱容量

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熱力学創生期における基本原理は熱量保存則でした.底面積の異なるモデルで考えたように,熱量は液体のようなものと考えられていたので,動画中の図における面積,つまり底面積(比熱)と水位(温度)の積が熱量です.熱量保存則により,物体間の熱の移動に注目した研究が行われました. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.3.比熱と熱容量」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.2.熱の仕事当量

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カロリック説は否定されましたが,熱量保存則は流体の移動を想像しながら考えると理解しやすいです. 詳細は「『高校生のための物理学』3.1.2.熱の仕事当量」を参照してください.

『高校生のための物理学』3.1.1.熱とは

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水1gを1℃上昇させるのに必要な熱量が1calです.成人男性の1日に必要なエネルギー量は2200kcal程度といわれています.2200kcalは20℃の水27.5Lを沸騰させるくらいの熱量です.MKSで表せないので,科学的には利用を推奨されない単位ですが,栄養学などで使用されることも多いので,この機会に定義について理解を深めてください.  詳細は「『高校生のための物理学』3.1.1.熱とは」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度②第2宇宙速度

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ラプラスは.コンパクトで十分に質量の大きい天体であれば,光さえも抜け出せなくなると考えました.光速を$c$とすると$\frac{1}{2}mc^2-G\frac{Mm}{r}<0$より,天体の半径$r$が$r<\frac{2GM}{c^2}$の条件を満たすとき,光は天体から外に出ることはできません.この半径は,一般相対性理論から導かれるシュワルツシルト半径と一致しており,この半径を満たすような天体をブラックホールといいます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度②第2宇宙速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度①第1宇宙速度

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第1宇宙速度は,完全な球体と考えた地球の表面すれすれを,地球の中心と軌道の中心が一致するように等速円運動するために必要な速度です.第1宇宙速度$v=\sqrt {\frac{GM}{R}}$を利用して,$T=\frac{2\pi R}{v}$より周期を求めると,$T=2\pi \sqrt {\frac{R^3}{GM}}$が得られます.この式は地球を中心に半径$R$の円軌道を描く人工衛星に適用できるので,国際宇宙ステーションの高度(ISS)を地上$400 \rm {km}$($6750 \rm {km}$)とすると,ISSの周期を求めることができます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.12.宇宙速度①第1宇宙速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー②人口衛星の運動

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万有引力の位置エネルギーの演習として,人口衛星の運動を考えました.ケプラーの第2法則から力学的エネルギー保存則の流れをつかんでください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー②人口衛星の運動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー①

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分数の積分を理解していれば,万有引力の位置エネルギーを導出することができます.質量$M$の物体Aからの距離$r$の点まで,質量$m$の物体Bを無限遠方から移動させます.万有引力は保存力なので,保存力に逆らってした仕事を計算することで,万有引力の位置エネルギーを求めることができます. 外力のする仕事$W$は$W=-\int^r_\infty (-f) dx=\int^r_\infty G \frac {Mm}{r^2}dx=GMm \left[ -\frac{1}{r} \right]_\infty ^r=-G\frac{Mm}{r}$と表されます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.11.万有引力の位置エネルギー①」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力②重力加速度

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$GM=gR^2$を用いると,地表からの高度$h$での重力加速度は$g'=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2g$と表されます.地球の半径を$6.4\times 10^6 \rm m$,地球の中心から月までの距離を$3.8\times 10^8\rm m$として,月の位置での重力加速度を求めて見てください. また,国際宇宙ステーション(ISS)の内部で重力がはたらいていないように見えるのは,ISSとともに運動する座標系から見ると,物体にはたらく重力と慣性力である遠心力がつりあっているからです.  詳細は「『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力②重力加速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力①

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コロナ禍で話題になることが多いのですが,万有引力の法則はロンドンでのペスト流行の最中で発見されました.大学が閉鎖されたため故郷に帰り,田舎で過ごすことでじっくりと考える時間ができたためと考えられています.
 ニュートンによる万有引力の導出はややこしいので,地球は太陽のまわりを等速円運動していると見なして,等速円運動の運動方程式$mr\omega^2=F$にケプラーの第3法則$T^2\propto r^3$を適用し,同様に太陽は地球のまわりを等速円運動するとして計算すると,万有引力の法則は導出できます.  詳細は「『高校生のための物理学』2.7.10.万有引力①」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.9.惑星の運動(ケプラーの3法則)

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ケプラーの法則が発表された頃は,天体の運動や形状は完全な球(円)であると考えられていました.ガリレオは終生ケプラーの第1法則を信用しなかったようです. ケプラーの第2法則は角運動量保存則を表しています.物体にはたらく力が中心からの力のみである場合に成り立ちます.角運動量については『高校生のための物理学』2.7.14.角運動量を参照してください. ネイピアにより対数が発表されたのは1614年のことで,ケプラーの第3法則の発表前ですが,まだ対数がどのように利用されるかも分かっていなかった頃なので,ケプラーは対数を利用することなく第3法則を発見しています. 詳細は『高校生のための物理学』2.7.9.惑星の運動(ケプラーの3法則)を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期③鉛直方向の単振動

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この動画で扱っているように,物体に弾性力のような$-kx$で表される力に加えて一定の力$f$がはたらいているとき,単振動の運動方程式は$ma=-kx+f$より$ma=-k\left(x-\frac{f}{k}\right)$と表されます.最後の式より,復元力が0になる点,すなわち$x=\frac{f}{k}$を中心に物体は単振動することがわかります.  詳細は「『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期③鉛直方向の単振動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期②単振り子

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弧度法に慣れていないと難しいところがあります.この機会に弧度法について復習してください.また,$\theta$が小さいときの近似式,$\sin \theta \approx \theta$を用います.近似式の扱いにも慣れましょう. 振り子の運動を水平面に投射して導出する方法もあります.その場合は,張力$T\cos \theta \approx T =m\textit g$とします.$\theta$が小さいときの近似式$\cos \theta \approx 1$を用いました.復元力は$T\sin \theta =T\frac{x}{l}=\frac{mg}{l}x$と表されるので,動画と同じ結論が得られます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期①ばね振り子

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単振動の基本的な例です.周期$T=2\pi \sqrt \frac{m}{k}$を公式として覚えるのではなく,運動方程式$-m\omega ^2 x=-kx$から導けるようになりましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.8.振り子の周期①ばね振り子」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.7.単振動に必要な力と力学的エネルギー

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円運動と同じで,復元力という力があるわけではありません.どの力,あるいは合力が復元力になっているか注目して演習してください.また,式の形が同じであれば,結果はいつも同じです.復元力は定数を$K$として$-Kx$と表されますが, 弾性力$F=-kx$に対する弾性エネルギーが$U_E=\frac{1}{2}kx^2$となるように,復元力の位置エネルギーも$U_R=\frac{1}{2}Kx^2$,$K=m \omega ^2$とすると$U_R=\frac{1}{2}m \omega ^2 x^2$と表されます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.7.単振動に必要な力と力学的エネルギー」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.6.単振動の速度と加速度

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等速円運動の速度と加速度をベクトルで表示し,それぞれの正射影を考えると,簡単に単振動の速度と加速度が導出できます.ぜひ絵を描いて考えてください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.6.単振動の速度と加速度」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.5.単振動

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単振動を表現する数式は,波や交流などの振動する現象を表すためにも用いられます.等速円運動の正射影であることを理解して,理解に努めてください. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.5.単振動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式3鉛直面内の円運動

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鉛直面内の円運動を考えるとき, 遠心力と垂直抗力,重力などがつりあっているとして解く方法もありますが,基本的には運動方程式を立てて考えるようにしましょう. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式3鉛直面内の円運動」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式2円錐振り子

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円錐振り子の場合,糸の張力の水平成分が向心力です.糸の張力の鉛直成分は重力とつりあっているので,おもりは水平面内で回転運動をします.$T=2\pi \sqrt \frac{l\cos \theta}{\text g}$より,角度が小さくなるほど$\cos \theta$の値が大きくなるので,周期は大きくなります. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式2円錐振り子」を参照してください.

『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式1

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遠心力は慣性力の1つです.等速円運動する物体には中心向きの加速度が加わります.この中心向きの加速度に対する慣性力が遠心力です. 国際宇宙ステーション(ISS)とともに運動する観測者からは,ISS内部の物体には遠心力と重力がつりあっているように見えるので,無重力に見えます. 詳細は「『高校生のための物理学』2.7.4.等速円運動の運動方程式」を参照してください.

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