簡単のため，１次元で考えます．運動方程式$m\frac{d^2x}{dt^2}=F$を$m\frac{dv}{dt}=F$と書きなおすと，
$mdv=Fdt$
と書けます．この両辺を積分すると，
$\int mdv=\int Fdt$
いま，時刻$t_1$での物体の速度が$v_1$，時刻$t_2$での物体の速度が$v_2$だったとすると，
$\int_{v_1}^{v_2} mdv=\int_{t_1}^{t_2} Fdt$
$mv_2-mv_1=F(t_2-t_1)$
となり，運動量と力積の関係が得られます．
次に，$mdv=Fdt$の両辺に$v$をかけると，
$mvdv=Fvdt$
$v=dx/dt$を思い出すと，
$mvdv=Fdx$
両辺を積分すると，
$m\int vdv=\int Fdx$
いま，位置$x_1$での物体の速度が$v_1$，位置$x_2$での物体の速度が$v_2$だったとすると，
$m\int_{v_1}^{v_2}vdv=\int_{x_1}^{x_2}Fdx$
$\left[\frac{1}{2}mv^2\right]_{v_1}^{v_2}=\left[Fx\right]_{x_1}^{x_2}$
$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=F(x_2-x_1)$
となり，運動エネルギーと仕事の関係が得られます．
このように高校の物理学（古典力学）では運動方程式を基本方程式として，様々な物理量を導くことができます．
今後も，時期を見て高校物理に必要な数学を紹介します．
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