簡単のため，１次元で考えます．運動方程式m\frac{d^2x}{dt^2}=Fをm\frac{dv}{dt}=Fと書きなおすと，
mdv=Fdt
と書けます．この両辺を積分すると，
\int mdv=\int Fdt
いま，時刻t_1での物体の速度がv_1，時刻t_2での物体の速度がv_2だったとすると，
\int_{v_1}^{v_2} mdv=\int_{t_1}^{t_2} Fdt
mv_2-mv_1=F(t_2-t_1)
となり，運動量と力積の関係が得られます．
次に，mdv=Fdtの両辺にvをかけると，
mvdv=Fvdt
v=dx/dtを思い出すと，
mvdv=Fdx
両辺を積分すると，
m\int vdv=\int Fdx
いま，位置x_1での物体の速度がv_1，位置x_2での物体の速度がv_2だったとすると，
m\int_{v_1}^{v_2}vdv=\int_{x_1}^{x_2}Fdx
\left[\frac{1}{2}mv^2\right]_{v_1}^{v_2}=\left[Fx\right]_{x_1}^{x_2}
\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=F(x_2-x_1)
となり，運動エネルギーと仕事の関係が得られます．
このように高校の物理学（古典力学）では運動方程式を基本方程式として，様々な物理量を導くことができます．
今後も，時期を見て高校物理に必要な数学を紹介します．
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