高3物理2021 高校物理と微積分④運動量と力積

水曜日, 8月 18, 2021

高校物理 高校物理のための数学

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 簡単のため,1次元で考えます.運動方程式$m\frac{d^2x}{dt^2}=F$を$m\frac{dv}{dt}=F$と書きなおすと,
$mdv=Fdt$
と書けます.この両辺を積分すると,
$\int mdv=\int Fdt$
 いま,時刻$t_1$での物体の速度が$v_1$,時刻$t_2$での物体の速度が$v_2$だったとすると,
$\int_{v_1}^{v_2} mdv=\int_{t_1}^{t_2} Fdt$
$mv_2-mv_1=F(t_2-t_1)$
となり,運動量と力積の関係が得られます.
 次に,$mdv=Fdt$の両辺に$v$をかけると,
$mvdv=Fvdt$
$v=dx/dt$を思い出すと,
$mvdv=Fdx$
両辺を積分すると,
$m\int vdv=\int Fdx$
いま,位置$x_1$での物体の速度が$v_1$,位置$x_2$での物体の速度が$v_2$だったとすると,
$m\int_{v_1}^{v_2}vdv=\int_{x_1}^{x_2}Fdx$
$\left[\frac{1}{2}mv^2\right]_{v_1}^{v_2}=\left[Fx\right]_{x_1}^{x_2}$
$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=F(x_2-x_1)$
となり,運動エネルギーと仕事の関係が得られます.
 このように高校の物理学(古典力学)では運動方程式を基本方程式として,様々な物理量を導くことができます.
 今後も,時期を見て高校物理に必要な数学を紹介します.

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