高3物理2021 高校物理と微積分③仕事と力学的エネルギー

火曜日, 8月 17, 2021

高校物理 高校物理のための数学

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 「大きさ$\bf F$の力を加えた向きに,距離$\Delta \bf x$だけ物体が移動したとき,力と距離の積を仕事とという」と仕事を定義します.これを式で表すと,

$W={\bf F}\cdot {\Delta \bf x}$

 ベクトルの内積になっていることに注目してください.保存力に逆らって外力が物体にした仕事$W$は,物体に蓄えられる位置エネルギー$U$になります.保存力を$F$として1次元上で考えると,微小区間$\Delta \bf x$だけ物体が移動したときの,物体の位置エネルギーの変化$\Delta U$は次のように表されます.

$\Delta U=-F\Delta x$

ここで,外力は保存力に逆らう向きに加えるので$- F$と表されることに注意してください.$\Delta x$は非常に小さい区間なので,あまり難しく考えなければ,容易に

$dU=-Fdx$

と書きなおせることに気付くと思います.また,ある点$x_1$から$x_2$まで保存力に逆らって物体を移動させたときの,位置エネルギーは$U$は,

$U=-\int_{x_1}^{x_2}Fdx$

と表されます.いくつか例を考えてみましょう.

重力

 重力$w=mg$のもとで基準点から高さ$h$だけ物体を持ち上げたとき,

$U=-\int _0^h(-mg)dx=mgh$

弾性エネルギー

 弾性力を$f=-kx$としたとき,物体を自然長から長さ$x$だけ伸ばしたときの弾性エネルギーは,

$U=-\int_0^x(-kx)dx=\frac{1}{2}kx^2$

反対に,弾性エネルギーの公式$U=\frac{1}{2}kx^2$を$x$で微分すれば,容易に弾性力の大きさ$f=kx$が得られます.また,弾性エネルギーがこのように導出されるということは,復元力のように位置$x$に比例する保存力の位置エネルギーは,全て$U=\frac{1}{2}kx^2$と表されることを示しているので,この考え方に慣れておくと問題を解くときに大変便利です.

万有引力の位置エネルギー

 万有引力を$f=G\frac{Mm}{r^2}$としたとき,地表$r_0$から地球の中心からの距離が$r\ (r>r_0)$の点まで物体を移動させたときの,物体が蓄えた位置エネルギーは,

$U=-\int _{r_0}^r\left(-G\frac{Mm}{r^2}\right)dr=-GMm\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)$

ここで,基準点を$r_0=\infty$とすると,万有引力の位置エネルギーの公式$f=-G\frac{Mm}{r}$が得られます.万有引力の位置エネルギーを$r$で微分すると,万有引力の公式が得られるので,ぜひ練習してみてください.


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