高3物理2021　高校物理と微積分③仕事と力学的エネルギー

　「大きさ$\bf F$の力を加えた向きに，距離$\Delta \bf x$だけ物体が移動したとき，力と距離の積を仕事とという」と仕事を定義します．これを式で表すと，

$W={\bf F}\cdot {\Delta \bf x}$

　ベクトルの内積になっていることに注目してください．保存力に逆らって外力が物体にした仕事$W$は，物体に蓄えられる位置エネルギー$U$になります．保存力を$F$として１次元上で考えると，微小区間$\Delta \bf x$だけ物体が移動したときの，物体の位置エネルギーの変化$\Delta U$は次のように表されます．

$\Delta U=-F\Delta x$

ここで，外力は保存力に逆らう向きに加えるので$- F$と表されることに注意してください．$\Delta x$は非常に小さい区間なので，あまり難しく考えなければ，容易に

$dU=-Fdx$

と書きなおせることに気付くと思います．また，ある点$x_1$から$x_2$まで保存力に逆らって物体を移動させたときの，位置エネルギーは$U$は，

$U=-\int_{x_1}^{x_2}Fdx$

と表されます．いくつか例を考えてみましょう．

重力

　重力$w=mg$のもとで基準点から高さ$h$だけ物体を持ち上げたとき，

$U=-\int _0^h(-mg)dx=mgh$

弾性エネルギー

　弾性力を$f=-kx$としたとき，物体を自然長から長さ$x$だけ伸ばしたときの弾性エネルギーは，

$U=-\int_0^x(-kx)dx=\frac{1}{2}kx^2$

反対に，弾性エネルギーの公式$U=\frac{1}{2}kx^2$を$x$で微分すれば，容易に弾性力の大きさ$f=kx$が得られます．また，弾性エネルギーがこのように導出されるということは，復元力のように位置$x$に比例する保存力の位置エネルギーは，全て$U=\frac{1}{2}kx^2$と表されることを示しているので，この考え方に慣れておくと問題を解くときに大変便利です．

万有引力の位置エネルギー

　万有引力を$f=G\frac{Mm}{r^2}$としたとき，地表$r_0$から地球の中心からの距離が$r\ (r>r_0)$の点まで物体を移動させたときの，物体が蓄えた位置エネルギーは，

$U=-\int _{r_0}^r\left(-G\frac{Mm}{r^2}\right)dr=-GMm\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)$

ここで，基準点を$r_0=\infty$とすると，万有引力の位置エネルギーの公式$f=-G\frac{Mm}{r}$が得られます．万有引力の位置エネルギーを$r$で微分すると，万有引力の公式が得られるので，ぜひ練習してみてください．